Question

如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，延长AB至点D，使DB=AB，连接CD，以CD为直角边作等腰三角形CDE，其中∠DCE=90°，连接BE.

 

（1）求证：△ACD≌△BCE；

（2）若AB=3cm，则BE=             cm；

（3）BE与AD有何位置关系？请说明理由.

Answer

（1）根据等腰直角三角形的性质可得CD=CE，由∠ACB=90°可得∠ACB=∠DCE，即可证得∠ACD=∠BCE，再结合AC=BC，即可证得结论；（2）6；（3）垂直

【解析】

试题（1）根据等腰直角三角形的性质可得CD=CE，由∠ACB=90°可得∠ACB=∠DCE，即可证得∠ACD=∠BCE，再结合AC=BC，即可证得结论；

（2）先由勾股定理求得AB=3，再由DB=AB，可得AD的长，然后根据全等三角形的性质求解即可；

（3）根据全等三角形的性质及三角形的面积公式求解即可

【解析】
（1）∵△CDE是等腰直角三角形，∠DCE=90°，

∴CD=CE，

∵∠ACB=90°，

∴∠ACB=∠DCE，

∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，

∴∠ACD=∠BCE，

∵AC=BC

∴△ACD≌△BCE；

（2）∵AC=BC=3，∠ACB=90°，由勾股定理得：AB=3，

又∵DB=AB，

∴AD=2AB=6，

∵△ACD≌△BCE；

∴BE=AD=6cm；

（3）如图所示：

∵△ACD≌△BCE

∴∠ADC=∠BEC

∵∠1=∠2，∠DCE=90°

∴∠DBE=∠DCE=90°

∴BE⊥AD.