Question

如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交AC于点D，交BC于点E，延长AE至点F，使EF=AE，连接FB，FC．

(1)求证：四边形ABFC是菱形；

(2)若AD=6，BE=2，求四边形ABFC的面积．

Answer

(1)证明见解析；(2)16．

【解析】

(1)根据圆周角定理得到∠AEB=90°，根据线段垂直平分线的性质、菱形的判定定理证明结论；

(2)根据菱形的性质求出CE，根据切割线定理求出CD，根据勾股定理、菱形的面积公式计算，得到答案．

(1)证明：∵AB是圆的直径，

∴∠AEB=90°，

∵EF=AE，

∴CB是线段AF的垂直平分线，

∴BA=BF，CA=CF，

∵AB=AC，

∴BA=BF=CA=CF，

∴四边形ABFC是菱形；

(2)【解析】
∵四边形ABFC是菱形，

∴CE=BE=2，

由切割线定理得，CD•CA=CE•CB，即CD•(CD+6)=2×4，

解得，CD1=2，CD2=-8(舍去)

∴AC=8，

由勾股定理得，AE==2，

∴AF=4，

则四边形ABFC的面积=×4×4=16．