Question

将△ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE，ED的延长线与BC相交于点F，连接AF、EC．

(1)如图，若∠BAC=α=60°．

①证明：AB∥EC；

②证明：△DAF∽△DEC；

(2)如图，若∠BAC＜α，EF交AC于G点，图中有相似三角形吗？如果有，请直接写出所有相似三角形．

Answer

(1)①证明见解析；②证明见解析；(2)△AGE∽△FGC，△AGF∽△EGC；

【解析】

(1)①由旋转得出△ABC与△ADE全等，得到AE=AC，由∠EAC=α=60°，证明△AEC为等边三角形，推出∠ACE=∠BAC=60°即可证明结论；

②由△ABC与△ADE全等，得到∠AED=∠ACB，由对顶角相等，证明△ADE与△FDC相似，推出对应边的比相等，再由∠ADF=∠EDC即可证明结论；

(2)由△ABC与△ADE全等，得到∠AED=∠ACB，再由对顶角相等证出△AGE与△FGC相似；由△AGE与△FGC相似，推出△AGF与△EGC对应边的比相等，由对顶角相等即可推出△AGF与△EGC相似．

【解析】
(1)①∵△ABC绕点A逆时针旋转α得到△ADE，

∴△ABC≌△ADE，

∴AC=AE，

∵∠EAC=α=60°．

∴△AEC为等边三角形，

∴∠ACE=∠BAC=60°，

∴AB∥EC；

②∵△ABC≌△ADE，

∴∠AED=∠ACB，

又∵∠ADE=∠FDC，

∴△ADE∽△FDC，

∴=，

∴=，

又∵∠ADF=∠EDC，

∴△DAF∽△DEC；

(2)①∵△ABC≌△ADE，

∴∠AED=∠ACB，

又∵∠AGE=∠FGC，

∴△AGE∽△FGC；

②∵△AGE∽△FGC，

∴=，

∴=，

又∵∠AGF=∠EGC，

△AGF∽△EGC；

综上所述，△AGE∽△FGC，△AGF∽△EGC；