Question

如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝4cm，EF经过对角线BD的中点O，分别交AD，BC于点E，F．

（1）求证：△BOF≌△DOE；

（2）当EF⊥BD时，求AE的长．

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）根据已知条件易证∠BFO＝∠DEO，∠FBO＝∠EDO，OB＝OD，再利用AAS证明△BOF≌△DOE即可；（2）连接BE，设AE＝xcm，由EB＝ED＝AD﹣AE＝（4﹣x）cm，在Rt△ABE中，根据AB2+AE＝BE2，构建方程即可解决问题．

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠BFO＝∠DEO，∠FBO＝∠EDO，

又∵O是BD中点，

∴OB＝OD，

∴△BOF≌△DOE（ASA）．

（2）连接BE．

∵EF⊥BD，O为BD中点，

∴EB＝ED，

设AE＝xcm，由EB＝ED＝AD﹣AE＝（4﹣x）cm，

在Rt△ABE中，AB＝3cm，

根据勾股定理得：AB2+AE＝BE2，即9+x2＝（4﹣x）2，

解得：x＝，

∴AE的长是 cm．