Question

已知二次函数y＝ax²+bx+3的图象经过A（﹣1，0）、C（3，0）、并且与y轴相交于点B，点P是直线BC上方的抛物线上的一动点，PQ∥y轴交直线BC于点Q．

（1）求此二次函数的表达式；

（2）求线段PQ的最大值；

（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△MAB为等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）；（3）M1（1，1），M2（1，），M3（1，﹣），M4（1，0）．

【解析】

（1）利用待定系数法确定函数关系式即可；（2）设P（﹣m，﹣m2+2m+3），Q（m，﹣m+3）．利用两点间的距离公式得到PQ＝﹣m2+3m，再利用配方法求得最值即可；（3）分①MA＝MB， ②MA＝AB，③AB＝MB三种情况求点M的坐标即可．

【解析】
（1）∵二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过A（﹣1，0），C（3，0）．

∴

解得．

∴此二次函数表达式为y＝﹣x2+2x+3．

（2）∵设直线BC为y＝kx+b，因其经过B（0，3），C（3，0），

∴．

解得k＝﹣1，b＝3

∴直线BC的表达式为y＝﹣x+3．

设P（﹣m，﹣m2+2m+3），Q（m，﹣m+3）

PQ＝﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）

＝﹣m2+3m

＝﹣（m﹣）2+．

PQ的最大值为．

（3）存在，理由如下：

∵二次函数y＝﹣x2+2x+3的对称轴为x＝﹣＝1，OA＝1，OB＝3，

在Rt△ABO中由勾股定理可得AB＝，AB2＝10．

设M（1，a），则MA2＝22+a2，MB2＝12+（a﹣3）2．

分三种情况讨论：

①MA＝MB，22+a2＝12+（a﹣3）2，得a＝1，

∴M1（1，1）；

②MA＝AB，22+a2＝10，得a＝±，

∴M2（1，），M3（1，﹣）；

③AB＝MB，12+（a﹣3）2＝10，得a＝0或a＝6，

∴M4（1，0），M5（1，6）．

∵M5、A、B三点共线，

∴M5（1，6）舍去．

∴M的坐标为：M1（1，1），M2（1，），M3（1，﹣），M4（1，0）．