Question

如图，在正方形中，是对角线与的交点，是边上的动点（点不与，重合），过点作垂直交于点，连结，，.下列五个结论：①；②；③；④若，则的最小值是1；⑤.其中正确结论是_________.（只填序号）

Answer

①②③⑤

【解析】

根据正方形的性质，依次判定△CNB≌△DMC，△OCM≌△OBN，△CON≌△DOM，根据全等三角形的性质以及勾股定理进行计算即可得出结论．

∵正方形ABCD中，CD=BC，∠BCD=90°，
∴∠BCN+∠DCN=90°，
又∵CN⊥DM，
∴∠CDM+∠DCN=90°，
∴∠BCN=∠CDM，
又∵∠CBN=∠DCM=90°，
∴△CNB≌△DMC（ASA），故①正确；

根据△CNB≌△DMC，可得CM=BN，
又∵∠OCM=∠OBN=45°，OC=OB，
∴△OCM≌△OBN（SAS），
∴OM=ON，故②正确；

∵△OCM≌△OBN

∴∠COM=∠BON

∴∠COM+∠BOM=∠BON+∠BOM=90°

∴ON⊥OM

故③正确；

∵△OCM≌△OBN，
∴四边形BMON的面积=△BOC的面积=1，即四边形BMON的面积是定值1，
∴当△MNB的面积最大时，△MNO的面积最小，
设BN=x=CM，则BM=2-x，
∴△MNB的面积=x（2-x）=-x2+x，
∴当x=1时，△MNB的面积有最大值，
此时S△OMN的最小值是1-=，故④不正确；

∵AB=BC，CM=BN，
∴BM=AN，
又∵Rt△BMN中，BM2+BN2=MN2，
∴AN2+CM2=MN2，故⑤正确；