Question

如图1，和均为等腰三角形，且，连接，，两条线段所在的直线交于点.

（1）线段与有何数量关系和位置关系，请说明理由.

（2）若已知，，绕点顺时针旋转，

①如图2，当点恰好落在的延长线上时，求的长；

②在旋转一周的过程中，设的面积为，求的最值.

Answer

（1），与互相垂直（2）①②47、72

【解析】

（1）证明，根据全等三角形的性质进行求解即可.

（2）①求出，根据勾股定理求出，证明，根据相似三角形的性质即可求出.

②由可知点在以为直径的圆的一段弧上，且当与以为半径相切时，点在其运动路径所在弧的两个端点处，到的距离最小，此时的面积最小, 当点与点重合时，到的距离最大，此时的面积最大,求解即可.

（1），与互相垂直；

证明：∵等腰，等腰，

∴，

∴

∴

∴， ，

∵

∴，即与互相垂直

（2）①∵，

∴，

中， ，

由（1）同理可知，

∴

∴，即，解得

②由可知点在以为直径的圆的一段弧上，且当与以为半径相切时，点在其运动路径所在弧的两个端点处，到的距离最小，此时的面积最小,如图1、2，易知四边形是边长为5的正方形.

∴， ，

∴,

当点与点重合时，到的距离最大，此时的面积最大，如图3

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