Question

如图1，抛物线过点，，与轴相交于点.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在轴正半轴上存在点，使得是等腰三角形，请求出点的坐标；

（3）如图2，点是直线上方抛物线上的一个动点.过点作于点，是否存在点，使得中的某个角恰好等于的2倍？若存在，请求出点的横坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）（2）、（3）2或

【解析】

（1）把点，代入抛物线，即可求出抛物线的解析式；

（2）求出点C的坐标，求出的长度，分①当②当两种情况进行讨论即可.

（3）过点作轴于点，过点作轴，交轴于点，交于点，

证明，得到，求出直线的解析式是：

设，则， ，分①,②两种情况进行讨论即可.

（1）. ∵抛物线过点，，

∴

解得

∴二次函数的表达式为：

（2）抛物线，

当时，； 当时，；

∴，，

∴，

①当时，如图1，点是线段的中垂线与轴的交点，

设，则，在中，

，解得，

∴

②当时，

∴

（3）2或

如图4，过点作轴于点，过点作轴，交轴于点，交于点，

易证

∴，

在（2）的图1中

∴

∴

∵，

∴直线的解析式是：

设

则，

①当时，，

∴，即

∴，

∴，

∴

将代入得：

解得，

∴点的横坐标是 .

②当时，，

方法同①，可确定的横坐标时