Question

如图，已知中，，，,点在边上，以为圆心，为半径的弧经过点是弧上一个动点.

求半径的长；

如果点是弧的中点，联结，求的正切值；

如果平分，延长交于点，求线段的长.

Answer

（1）9；（2）；（3）

【解析】

（1）根据勾股定理得到AB= =12，如图1，过O作OH⊥AB于H，根据相似三角形的性质即可得到结论；
（2）如图2，连接OP交AB于H，根据垂径定理得到OP⊥AB，AH=BH=AB=6，得到PH=9-3=6，根据圆周角定理得到∠PCB=∠PBA，根据三角函数的定义即可得到结论；
（3）如图3，过A作AE⊥BD于E，连接CP，根据角平分线的性质得到AE=AC=4，根据相似三角形的性质得到AD=，根据全等三角形的性质得到BE=BC=16，根据勾股定理和三角形的面积公式即可得到结论．

【解析】
）∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=16，
∴AB==12，
如图1，过O作OH⊥AB于H，

则BH=AB=6，
∵∠BHO=∠ACB=90°，∠B=∠B，
∴△BHO∽△BCA，
∴

∴

∴OB=9；

(2) 如图2，连接OP交AB于H，连结，交于点，

是弧的中点，过圆心

, AH=BH=AB=6，

在Rt△BHO中，OH== =3，
∴PH=9-3=6，
∵点P是弧AB的中点，
∴弧AP=弧PB，
∴∠PCB=∠PBA，
∴∠PCB的正切值=∠PBA的正切值== ；

如图3，过A作AE⊥BD于E，连接CP，

∵BA平分∠PBC，AC⊥BC，
∴AE=AC=4 ，
∵∠AED=∠ACB=90°，∠D=∠D，
∴△ADE∽△BDC，
∴,

设DE=x，

∴,

∴AD=

在Rt△ACB与Rt△AEB中，

∴Rt△ACB≌Rt△AEB（HL），
∴BE=BC=16，
∵CD2+BC2=BD2，

∴（4+）2+162=（16+x）2，

解得：x=

∴AD=，BD=16+=，

∴CD=

∵BC是⊙的直径，
∴CP⊥BD，
∴CP== =

∴PD= =