Question

在△ABC 中，AB  BC  AC，∠A  ∠B  ∠C  60°．点 D、E 分别是边 AC、AB 上的点（不与 A、B、C 重合），点 P 是平面内一动点．设∠PDC=∠1，∠PEB=∠2，∠DPE=∠α．

（1）若点 P 在边 BC 上运动（不与点 B 和点 C 重合），如图⑴所示，则∠1+∠2          ．（用 α 的代数式表示）

（2）若点 P 在△ABC 的外部，如图⑵所示，则∠α、∠1、∠2 之间有何关系？写出你的结论，并说明理由．

（3）当点 P 在边 BC 的延长线上运动时，试画出相应图形，并写出∠α、∠1、∠2 之间的关系式．（不需要证明）

Answer

（1）如图（1）60 α ；（2）∠2=60 ∠1 α；理由见解析；（3）如图（3）时，2  1  60 α，如图（4）时，∠2 ∠1=60  α.

【解析】

（1）根据四边形内角和定理以及邻补角的定义得出∠1+∠2=∠C+∠α，进而得出即可；

（2）利用三角形内角和定理以及邻补角的性质可得出∠α=∠1-∠2+60°；

（3）利用三角外角的性质得出．需要分类讨论，如图所示．

（1）如图（1），∵∠1+∠2+∠ADP+∠AEP=360°，∠A+α+∠ADP+∠AEP=360°，

∴∠1+∠2=∠A+α，

∵△ABC是等边三角形，

∴∠A=60°，

∴∠1+∠2=60°+α．

故答案是：60°+α；

（2）∠2=60 ∠1 α，

证明：如图（2），

∵ 1 是△POD 的外角，

∴∠1=α+∠POD，

∵∠POD=∠AOE，

∴∠1=α+∠AOE，

∴∠AOE=∠1，

∵∠2 是△AOE 的外角，

∴∠2=∠A ∠AOE，

∴∠2=60 ∠1 α；

（3）两种情况如下：

如图（3）时，2  1  60 α，

如图（4）时，∠2 ∠1=60  α.