Question

如图，在正方形中，点是对角线上的一点，点在的延长线上，且，交于点.

（1）证明：；

（2）如图，把正方形改为菱形，其它条件不变，当时，连接，试探究线段与线段的数量关系，并说明理由.

Answer

（1）证明见解析；（2）AP＝CE，理由见解析.

【解析】

(1)先证出△ABP≌△CBP，得PA=PC，由于PA=PE，得PC=PE；
(2)根据已知和(1)易证△ADP≌△CDP，得PC=PE，∠DAP=∠DCP，由PA=PE，得到∠DAP=∠AEP，∠DCP=∠E，而可得∠CDE=60°，再结合三角形内角和定理可得∠EPC=60°，△EPC为等边三角形，即可得到结论；

【解析】
(1)证明：在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABP＝∠CBP＝45°，

∵PB＝PB，

∴△ABP≌△CBP(SAS)，

∴PA＝PC，

∵PA＝PE，

∴PC＝PE；

(2)【解析】
AP＝CE；

理由如下：

在菱形ABCD中，AD＝DC，∠ADP＝∠CDP＝60°，

∵PD＝PD，

∴△ADP≌△CDP(SAS)，

∴PA＝PC，∠DAP＝∠DCP，

∵PA＝PE，

∴PC＝PE，

∴∠DAP＝∠DEP，

∴∠DCP＝∠DEP

∵∠CFP＝∠EFD

∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠DEP，

即∠CPE＝∠CDE＝180°﹣∠ADC＝180°﹣120°＝60°，

∴△EPC是等边三角形，

∴PC＝CE，

∴ AP＝CE．