Question

如图，一条直线与反比例函数的图像交于、两点，与轴交于点，轴，垂足为.

（1）如图甲，求反比例函数的解析式与点的坐标；

（2）如图乙，若点在线段上运动，连接，作，交于点.试说明.

Answer

(1)y＝，D点坐标为（5，0）； （2）证明见解析.

【解析】

(1)根据点A的坐标即可求出反比例函数的解析式；再求出B点的坐标B(4，1)，即得n=1；利用待定系数法求一次函数的解析式，令一次函数的y=0，求得点D的坐标D(5，0)；
(2)要证△CDE∽△EAF，只要证明出△CDE和△EAF的三个内角分别对应相等，即可得证；

【解析】
(1)∵点A(1，4)在反比例函数图象上

∴k＝4

即反比例函数关系式为；

②∵点B(4，n)在反比例函数图象上

∴n＝1

设一次函数的解析式为y＝mx+b

∵点A(1，4)和B(4，1)在一次函数y＝mx+b的图象上

∴,

解得,

∴一次函数关系式为y＝﹣x+5

令y＝0，得x＝5

∴D点坐标为(5，0)；

(2)证明：∵A(1，4)，D(5，0)，AC⊥x轴

∴C(1，0)

∴AC＝CD＝4，

即∠ADC＝∠CAD＝45°，

∵∠AEC＝∠ECD+∠ADC＝∠ECD+45°，

∠AEC＝∠AEF+∠FEC＝∠AEF+45°，

∴∠ECD＝∠AEF，

∴△CDE∽△EAF．