Question

如图，将矩形 沿折叠，使落在边的点处，过作交于点，连接，若=6，，则的长为_____.

Answer

【解析】

先依据翻折的性质和平行线的性质证明∠DGF=∠DFG，从而得到GD=DF，接下来依据翻折的性质可证明DG=GE=DF=EF，连接DE，交AF于点O．由菱形的性质可知GF⊥DE，OG=OF=GF，接下来，证明△DOF∽△ADF，由相似三角形的性质可证明DF2=FO•AF，于是可得到GE、AF、FG的数量关系，过点G作GH⊥DC，垂足为H．根据相似三角形的性质可求得FG=4，然后再△ADF中依据勾股定理可求得AD的长，然后再证明△FGH∽△FAD，利用相似三角形的性质可求得GH的长，最后依据BE=AD-GH求解即可．

连接DE交GF于点O，过点G作GH⊥DC，垂足为H．

∵GE∥DF，

∴∠EGF=∠DFG．

∵由翻折的性质可知：GD=GE，DF=EF，∠DGF=∠EGF，

∴∠DGF=∠DFG．

∴GD=DF

∴DG=GE=DF=EF．

∴四边形EFDG为菱形，

∴GF⊥DE，OG=OF=GF．

∵∠DOF=∠ADF=90°，∠OFD=∠DFA，

∴△DOF∽△ADF．

∴，即DF2=FO•AF．

∵FO=GF，DF=EG，

∴EG2=GF•AF．

∵AG=6，EG=2，

∴20=FG（FG+6），整理得：FG2+6FG-40=0．

解得：FG=4，FG=-10（舍去）．

∵DF=GE=2，AF=10，

∴AD==4．

∵GH⊥DC，AD⊥DC，

∴GH∥AD．

∴△FGH∽△FAD．

∴，即，

∴GH=，

∴BE=AD-GH=4-=.