Question

四边形ABCD内接于⊙O，AC为其中一条对角线，且S_△ABC：S_△ADC=AB：AD．

（1）如图1，求证：BC=CD；

（2）如图2：连接OC，交对角线BD于点E，若∠BAD=60°，求证：OE=EC；

（3）如图3，在（2）的条件下，过点D作DF⊥AC于点F，连接FO并延长FO，交AB边于点G，若FG⊥AB，OC=，求△OFC的面积．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

（1）首先利用已知得出CL=CK，再结合全等三角形的判定方法得出△CKB≌△CLD（AAS），进而得出答案；

（2）首先得出△OBC是等边三角形，进而得出答案；

（3）利用已知首先得出△AMD是等边三角形，进而得出BG，EF的长，再利用S△OEF=OF•EF进而得出答案．

（1）证明：过C作CK⊥AB于点K，过C作CL⊥AD于点L，

∴S△ABC=AB•CK，S△ADC=AD•CL，

∵S△ABC：S△ADC=AB：AD．

∴CL=CK，

∵∠B+∠ADC=180°，∠CDL+∠ADC=180°，

∴∠B=∠CDL，

∵∠CKB=∠L=90°，

在△CKB和△CLD中

，

∴△CKB≌△CLD（AAS），

∴BC=CD．

（2）证明：如图2，连接OB、OD，

∵BC=CD，

∴∠BOC=∠DOC

∵OB=OD，

∴OE⊥BD，

∵∠BAD=60°，

∴∠BOC=∠DOC=60°，

∴△OBC是等边三角形，

∴OB=BC，

∴OE=EC；

（3）如图3，延长DF交AB于点M，连接OB，

∵∠BAD=60°，

∴∠BAC=∠CAD=30°，

∵AF⊥DF，

∴∠AFM=∠AFD=90°，

∴∠AMD=∠ADM=60°，

∴△AMD是等边三角形，

设MG=a，则MF=2a，AM=AD=MD=4a，GF=a，

∴AG=BG=3a，∴BM=2a

∵E、F分别是BD、MD中点，∴EF=a，EF∥AB

过B作BN⊥MD，则MN=a，BN=a，∴DN=5a，

∵BD=OC，

∴BD=3

在Rt△BND中，（a）2+（5a）2=（3）2

解得a=，

∴BG=，EF=，

在Rt△OGB中，OG=，

∴OF=，

∵EF∥AB，

∴∠EFO=∠AGF=90°

∴S△OEF=OF•EF=××=

∵OE=EC，

∴S△OFC=2 S△OEF=．