Question

如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线y=2x+b分别交x，y轴于点A、C，抛物线y=ax²+x+4经过A、C两点，交x轴于另外一点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P在第一象限内抛物线上，连接PB、PC，作平行四边形PBDC，DE⊥y轴于点E，设点P 的横坐标为t，线段DE的长度为d，求d与t之间的函数关系式．

（3）在（2）的条件下，延长BD交直线AC与点F，连接OF，若∠AFO=∠BFO，求点P的坐标．

Answer

（1）y=-x2+x+4．（2）d =4-t（0＜t＜4）．（3）点P坐标为（，）．

【解析】

（1）利用待定系数法即可解决问题．

（2）如图1中，设P（t，-x2+x+4），D（x，y）．根据平行四边形的性质对角线互相平分，利用中点坐标公式，列出方程即可解决问题．

（3）如图2中，作OM⊥AC于M，ON⊥BF于N，NE⊥OB于E．先求出点N的坐标，求出直线NB的解析式，再求出直线PC的解析式，解方程组即可解决问题．

（1）对于抛物线y=ax2+x+4，令x=0，得y=4，

∴C（0，4），把C（0，4），代入y=2x+b中，得b=4，

∴直线解析式为y=2x+4，令Y=0，得x=-2，

∴A（-2，0），把A（-2，0）代入y=ax2+x+4，得a=-，

∴抛物线的解析式为y=-x2+x+4．

（2）如图1中，设P（t，-x2+x+4），D（x，y）．

∵C（0，4），B（4，0），四边形CPBD是平行四边形，

∴，x=4-t，

∴d=DE=x=4-t（0＜t＜4）．

（3）如图2中，作OM⊥AC于M，ON⊥BF于N，NE⊥OB于E．

∵∠OFA=∠OFB，OM⊥FC，ON⊥FB，

∴OM=ON，

∵•OA•OC=•AC•OM，OA=2，OC=4，AC=，

∴ON=OM=，

∵BN=，

∵•ON•BN=•OB•EN，

∴EN=，OE=，

∴N（，-），

设直线BN的解析式为y=kx+b，则有，解得 ，

∵PC∥BN，

∴直线PC的解析式为y=x+4，

由，解得或，

∴点P坐标为（，）．