Question

如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M是BC的中点，DE⊥AM于点E．

（1）求证：△ADE∽△MAB；

（2）求DE的长．

Answer

（1）见解析；（2）DE＝．

【解析】

（1）要证△ADE∽△MAB，只要找出两个三角形相似的条件即可，根据题意好矩形的性质可以证明△ADE∽△MAB；
（2）根据题意和（1）中△ADE∽△MAB，利用对应边的相似比相等和勾股定理可以解答本题．

证明：（1）∵在矩形ABCD中，DE⊥AM于点E，

∴∠B＝90°，∠BAD＝90°，∠DEA＝90°，

∴∠BAM+∠EAD＝90°，∠EDA+∠EAD＝90°，

∴∠BAM＝∠EDA，

在△ADE和△MAB中，∵∠AED＝∠B，∠EDA＝∠BAM，

∴△ADE∽△MAB；

（2）∵在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，M是BC的中点，

∴BM＝，

∴AM＝，

由（1）知，△ADE∽△MAB，

∴，

∴，

解得，DE＝．