Question

如图在等腰△ABC中，AB＝AC＝20cm，BC＝16cm，AD＝BD．

（1）点M在底边BC上且以6cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点N在腰AC上且由C点向A点运动．

①如果点M与点N的运动速度相等，求经过多少秒后△BMD≌△CNM；

②如果点M与点N的运动速度不相等，当点N的运动速度为多少时，能够使△BMD与△CNM全等？

（2）如果点N以②中的运动速度从点C出发，点M以6cm/s的速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，直接写出当点M与点N第一次相遇时点M运动的路程．

Answer

（1）①1秒；②7.5厘米/秒；（2）秒．

【解析】

（1）①先求得BM=CN=6，MC=BD=10，然后根据等边对等角求得∠B=∠C，最后根据SAS即可证明；
②因为VM≠VN，所以BM≠CN，又∠B=∠C，要使△BMD与△CNM全等，只能BM=CM=8，根据全等得出CN=BD=10，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和CN的长即可求得N的运动速度；
（2）因为VN＞VM，只能是点N追上点M，即点N比点M多走AB+AC的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．

【解析】
（1）①因为t＝1（秒），

所以BM＝CN＝6（厘米）

∵AB＝20，D为AB中点，

∴BD＝10（厘米）

又∵MC＝BC﹣BN＝16﹣6＝10（厘米）

∴MC＝BD

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

在△BMD与△CNM中，

，

∴△BMD≌△CNM（SAS），

∴经过1秒后△BMD≌△CNM．

②因为VM≠VN，

所以BM≠CN，

又因为∠B＝∠C，

要使△BMD与△CNM全等，只能BM＝CM＝8，即△BMD≌△CMN，

故CN＝BD＝10．

所以点M、N的运动时间t＝（秒），

此时VN＝＝7.5（厘米/秒）．

（2）因为VN＞VM，只能是点N追上点M，即点N比点M多走AB+AC的路程

设经过x秒后M与N第一次相遇，依题意得x＝6x+2×20，

解得x＝（秒）

此时点M运动了×6＝160（厘米）

又因为△ABC的周长为56厘米，160＝56×2+48，

所以点M、N在AB边上相遇，即经过了秒，点M与点N第一次在AB边上相遇．