Question

如图①，抛物线y＝﹣x²+x+4与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点D为线段AC的中点，直线BD与抛物线交于另一点E，与y轴交于点F．

（1）求直线BD的解析式；

（2）如图②，点P是直线BE上方抛物线上一动点，连接PD，PF，当△PDF的面积最大时，在线段BE上找一点G，使得PG﹣GE的值最小，求出点G的坐标及PG﹣GE的最小值；

（3）将抛物线沿直线AC平移，点A，C平移后的对应点为A′，C'．在平面内有一动点H，当以点B，A'，C'，H为顶点的四边形为平行四边形时，在直线AC上方找一个满足条件的点H，与直线AC下方所有满足条件的点H为顶点的多边形为轴对称图形时，求出点A′的坐标．

Answer

（1）y＝x+1；（2）点G（，），最小值为；（3）（3，1）、（+1，3﹣）、（1﹣，3+）、（5+，﹣﹣1）、（5﹣，﹣1）．

【解析】

（1）令-x2+x+4=0，可求出点A和点B的坐标，令x=0，可求出点C的坐标，再根据点D时AC的中点，可求出点D的坐标，利用待定系数法求直线解析式即可．（2）求三角形的面积最值可以转化为求线段长度的最大值，利用点坐标表示线段长度，配方求最值，求PG-GE的最小值，可将不共线的线段转换为共线的线段长度．（3）理解题意利用轴对称图形就是找等腰三角形，再分情况讨论即可．

【解析】
（1）令﹣x2+x+4＝0，解得x1＝﹣2，x2＝4，

∴B（﹣2，0），A（4，0），

令x＝0，y＝4，

∴C（0，4），

∵D为AC的中点，

∴D（2，2），

设直线BD的解析式为y＝kx+b（k≠0），代入点B和点D，

，

解得，

∴直线BD的解析式为y＝x+1．

（2）如图所示

过点P作y轴的平行线，交BE交于点H，

设点P的坐标为（t，﹣t2+t+4），

则点H为（t， t+1），

∴PH＝﹣t2+t+4﹣（t+1）＝﹣（t﹣）2+，

当t＝时，PH最大，此时点P为（，），

当PH最大时，△PDF的面积也最大．

∵直线BD的解析式为y＝x+1，

令x＝0，y＝1，∴点F（0，1），

在Rt△BFO中，根据勾股定理，BF＝，

∴sin∠FBO＝

过点E作x轴的平行线与过点G作y轴的平行线交于点M，

∴∠MEG＝∠FBO，

∴MG＝EG•sin∠MEG＝EG，

∴PG﹣GE＝PG﹣MG，

当P、M、G三点共线时，PG﹣MG＝PM，否则都大于PM，

∴当P、M、G三点共线时，PG﹣MG最小，此时点G与点H重合，

令﹣x2+x+4＝x+1，

解得x1＝3，x2＝﹣2，

∴点E（3，），

∴PM＝﹣＝，

∴点G（，），

∴点G（，），PG﹣GE的最小值为．

（3）如图所示，

当以点B，A'，C'，H为顶点的四边形为平行四边形时，

在直线AC下方的点H只有两个，点H1和点H2，

过点B作AC的平行线交y轴于点G，∴G（0，﹣2）

∵点A（4，0），点C（0，4），

∴AC＝4，

∴BH1＝BH2＝4，

∵∠CAO＝45°，

∴H1（﹣6，4），H2（2，﹣4），

在y轴上截取点E，使EC＝CG，则点E（0，10），

过点E作AC的平行线，则在直线AC上方的点H一定在这条平行线上，

当△H1H2H3为等腰三角形时即为轴对称图形，

①当H1H3＝H2H3时，

直线EH3的解析式为y＝﹣x+10，

设H3（m，﹣m+10），

H1H3＝，

H2H3＝，

解得m＝4，∴H3（4，6），

∴A′（3，1）．

②当H1H3＝H1H2时，

∵H1H3＝，H1H2＝8，

解得m1＝2，m2＝﹣2，此时点H3（2，10﹣2）或（﹣2，10+2），

∴A′（+1，3﹣）或（1﹣，3+）．

③当H2H3＝H1H2时，

∵H2H3＝，H1H2＝8，

解得m1＝8+2，m2＝8﹣2，此时点H3（8+2，2﹣2）或（8﹣2，2+2），

∴A′（5+，﹣﹣1）或（5﹣，﹣1）．

综上所述，点A′的坐标为（3，1）、（+1，3﹣）、（1﹣，3+）、（5+，﹣﹣1）、（5﹣，﹣1）．