Question

已知：二次函数，当时，函数有最大值.

(1)求此二次函数图象与坐标轴的交点；

(2)将函数图象轴下方部分沿轴向上翻折，得到的新图象，若点是翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，若关于的一元二次方程恒有实数根时，求实数的最大值.

Answer

(1)抛物线与轴交于(0，-3)，与轴交于(-1，0)，(3，0)；(2)实数的最大值为3

【解析】

(1)求出对称轴，结合，可知当时，随增大而增大，所以时，，把，代入解析式求出的值，然后解方程即可；

(2)折叠部分对应的解析式：，根据求出的取值范围，即，再结合，即可求得实数的最大值.

(1)抛物线的对称轴为：.

∴，抛物线开口向上，大致图象如图所示.

当时，随增大而增大；

∵当时，函数有最大值，

∴当时，，

∴，

解得：.

∴

当，，

，x2-2x-3=0，

解得：或，

∴抛物线与轴交于，抛物线与轴交于，.

(2)∵关于的一元二次方程恒有实数根，

∴，即恒成立，

∴恒成立.

∵（1）中的抛物线解析式为y=x2-2x-3，

∴函数的最小值为=-4，

∵点是(1)中抛物线沿x轴翻折得到的抛物线弧部分上任意一点，

∴，

∴（k取值的下限），

∴实数的最大值为3.