Question

如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝x²+bx+c过A，B，C三点，点A的坐标是（3，0），点C的坐标是（0，﹣3），动点P在抛物线上．

（1）求抛物线的解析式；

（2）若动点P在第四象限内的抛物线上，过动点P作x轴的垂线交直线AC于点D，交x轴于点E，垂足为E，求线段PD的长，当线段PD最长时，求出点P的坐标；

（3）是否存在点P，使得△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer

（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）；（3）存在，点P的坐标为（1，﹣4）或（﹣2，5）．

【解析】

（1）将点A、C的坐标代入函数表达式得：即可求解；

（2）设点P（x，x2-2x-3），则点D（x，x-3），则PD=x-3-（x2-2x-3）=-x2+3x，即可求解；

（3）分∠ACP=90°、∠P′AC=90°两种情况，分别求解．

（1）将点A、C的坐标代入函数表达式得：，解得：，

故：函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①；

（2）设直线AC的表达式为：y＝kx+b，则：，

故直线BC的表达式为：y＝x﹣3，

设点P（x，x2﹣2x﹣3），则点D（x，x﹣3），

∴PD＝x﹣3﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+3x，

∵﹣1＜0，抛物线开口向下，当x＝时，PD的最大值为，

此时，点P（，﹣）；

（3）存在，理由：

①当∠ACP＝90°时，

由（2）知，直线AC的表达式为：y＝x﹣3，

故直线CP的表达式为：y＝﹣x﹣3…②，

①②联立并解得：x＝1或0（舍去x＝0），

故点P坐标为（1，﹣4）；

②当∠P′AC＝90°时，

设直线AP′的表达式为：y＝﹣x+b，

将x＝3，y＝0代入并解得：b＝3，

故：直线AP′的表达式为：y＝﹣x+3…③，

联立①③并解得：x＝﹣2或3（舍去x＝3），

故：点P′的坐标为（﹣2，5）；

故点P的坐标为（1，﹣4）或（﹣2，5）．