Question

如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝AC，E是边BC上的点，且∠AED＝∠CAD，DE交AC于点F．

（1）求证：△ABE∽△DAF；

（2）当AC•FC＝AE•EC时，求证：AD＝BE．

Answer

（1）详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）想办法证明∠B＝∠DAF，∠BAE＝∠ADF即可解决问题．

（2）只要证明四边形ADEB是平行四边形即可解决问题．

（1）∵AD∥BC，

∴∠DAC＝∠ACB，

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠ACB，

∴∠DAF＝∠B，

∵∠AEC＝∠AED+∠DEC＝∠B+∠BAE，∠AED＝∠CAD＝∠ACB，

∴∠DEC＝∠BAE，

∵AD∥BC，

∴∠DEC＝∠ADF，

∴∠BAE＝∠ADF，

∴△ABE∽△DAF．

（2）∵AC•FC＝AE•EC，AC＝AB，

∴AB•FC＝AE•EC，

∴，

∵∠B＝∠FCE，∠BAE＝∠FEC，

∴△BAE∽△CEF，

∴，

∴，

∴FC＝EF，

∴∠FEC＝∠FCE，

∵∠FCE＝∠B，

∴∠B＝∠FEC，

∴AB∥DE，

∵AD∥BE，

∴四边形ADEB是平行四边形，

∴AD＝BE．