Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝﹣x²+bx+c与直线y＝x﹣3分别交x轴、y轴上的B、C两点，设该抛物线与x轴的另一个交点为点A，顶点为点D，连接CD交x轴于点E．

（1）求该抛物线的表达式及点D的坐标；

（2）求∠DCB的正切值；

（3）如果点F在y轴上，且∠FBC＝∠DBA+∠DCB，求点F的坐标．

Answer

（1），D（4，1）；（2）；（3）点F坐标为（0，1）或（0，﹣18）．

【解析】

（1）y＝x﹣3，令y＝0，则x＝6，令x＝0，则y＝﹣3，求出点B、C的坐标，将点B、C坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx+c，即可求解；

（2）求出则点E（3，0），EH＝EB•sin∠OBC＝，CE＝3，则CH＝，即可求解；

（3）分点F在y轴负半轴和在y轴正半轴两种情况，分别求解即可．

（1）y＝x﹣3，令y＝0，则x＝6，令x＝0，则y＝﹣3，

则点B、C的坐标分别为（6，0）、（0，﹣3），则c＝﹣3，

将点B坐标代入抛物线y＝﹣x2+bx﹣3得：0＝﹣×36+6b﹣3，解得：b＝2，

故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x﹣3，令y＝0，则x＝6或2，

即点A（2，0），则点D（4，1）；

（2）过点E作EH⊥BC交于点H，

C、D的坐标分别为：（0，﹣3）、（4，1），

直线CD的表达式为：y＝x﹣3，则点E（3，0），

tan∠OBC＝，则sin∠OBC＝，

则EH＝EB•sin∠OBC＝，

CE＝3，则CH＝，

则tan∠DCB＝；

（3）点A、B、C、D、E的坐标分别为（2，0）、（6，0）、（0，﹣3）、（4，1）、（3，0），

则BC＝3，

∵OE＝OC，∴∠AEC＝45°，

tan∠DBE＝＝，

故：∠DBE＝∠OBC，

则∠FBC＝∠DBA+∠DCB＝∠AEC＝45°，

①当点F在y轴负半轴时，

过点F作FG⊥BG交BC的延长线与点G，

则∠GFC＝∠OBC＝α，

设：GF＝2m，则CG＝GFtanα＝m，

∵∠CBF＝45°，∴BG＝GF，

即：3+m＝2m，解得：m＝3，

CF＝＝m＝15，

故点F（0，﹣18）；

②当点F在y轴正半轴时，

同理可得：点F（0，1）；

故：点F坐标为（0，1）或（0，﹣18）．