Question

如图，在四边型ABCD中，AB∥DC，过对角线AC的中点O作，分别交边AB,CD于点E,F，连接CE,AF.

（1）求证：四边形AECF是菱形；

（2）若EF=8，AE=5，求四边形AECF的面积.

Answer

（1）见解析；（2）S四边形AECF =24.

【解析】

（1）运用“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”判定，已知EF⊥AC，AO=OC，只需要证明OE=OF即可，可用全等三角形得出；
（2）由已知条件，利用勾股定理可求得AO的长度，进而求得AC的长，根据菱形的面积等于对角线乘积的一半即可求解．

【解析】
（1）证明：

∵AB∥CD

∴∠DCA=∠CAB, ∠CFE=∠FEA,

∵AO=OC

∴∆FOC≌∆EOA

∴OF=OE

∴四边形是平行四边形

∵

∴四边形是菱形

（2）∵四边形是平行四边形, EF=8

∴OF=OE=4

由勾股定理，得：

∴AC=2AO=6

∴S四边形AECF= =24