Question

点G为△ABC的重心（△ABC三条中线的交点），以点G为圆心作⊙G与边AB，AC相切，与边BC相交于点H，K，若AB＝4，BC＝6，则HK的长为（　　）

A.  B.  C.  D.

Answer

A

【解析】

根据切线的性质得到EG⊥AB，FG⊥AC，连接AG并延长交BC于S，根据重心的性质得到BS＝CS＝BC＝3，延长AS到O时SO＝AS，根据全等三角形的性质得到∠O＝∠CAS，AC＝OB，由勾股定理得到AS＝，根据相似三角形的性质即可得到结论．

设⊙G与边AB，AC相切于E，F，连接EG，FG，

则EG⊥AB，FG⊥AC，

连接AG并延长交BC于S，

∵EG＝FG，

∴∠BAS＝∠CAS，

∵点G为△ABC的重心，

∴BS＝CS＝BC＝3，

延长AS到O时SO＝AS，

在△ACS与△OBS中，

∴△ACS≌△OBS（SAS），

∴∠O＝∠CAS，AC＝OB，

∵∠BAS＝∠CAS，

∴∠BAS＝∠O，

∴AB＝BO，

∴AB＝AC，

∴AS⊥BC，

∴AS＝，

∴AG＝AS＝，SG＝AS＝，

∵∠EAG＝∠SAB，∠AEG＝∠ASB＝90°，

∴△AEG∽△ASB，

∴，

∴，

∴EG＝，

连接GH，

∴GH＝，

∴HS＝，

∴HK＝2HS＝．

故选：A．