Question

如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的⊙O与CD切于点E，AD交⊙O于点F．

（1）求证：∠ABE＝45°；

（2）连接CF，若CE＝2DE，求tan∠DFC的值．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）如图1，连接OE，根据平行四边形的性质和切线的性质得：OE⊥AB，由OE＝OB，可知△OEB是等腰直角三角形，可得结论；

（2）如图2，DE＝x，则CE＝2x，先根据勾股定理计算AD的长，证明△AGD∽△AFB，则，可得BF的长，最后利用等角的三角函数相等可得结论．

（1）证明：如图1，连接OE，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB∥CD，

∵DC是⊙O的切线，

∴OE⊥CD，

∴OE⊥AB，

∴∠EOB＝90°，

∵OE＝OB，

∴∠ABE＝45°；

（2）【解析】
如图2，连接OE，则OE⊥CD，

设DE＝x，则CE＝2x，

∴AB＝CD＝3x，

∴OA＝OE＝OB＝1.5x，

过D作DG⊥AB于G，

∴DG＝OE＝1.5x，OG＝DE＝x，

∴AG＝x，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠AFB＝90°，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠CBF＝∠AFB＝90°，∠BCF＝∠DFC，

Rt△ADG中，BC＝AD＝，

∵∠A＝∠A，∠AFB＝∠AGD＝90°，

∴△AGD∽△AFB，

∴ ，

∴，

∴BF＝，

Rt△BFC中，tan∠DFC＝tan∠BCF＝．