Question

如图，在平面直角坐标系中有三点A（2，4）、B（3，5）、P（a，a），将线段AB绕点P顺时针旋转90°得到CD，其中A、B的对应点分别为C、D;

（1）当a＝2时，

①在图中画出线段CD，保留作图痕迹，并直接写出C、D两点的坐标；

②将线段CD向上平移m个单位，点C、D恰好同时落在反比例函数y＝的图象上，求m和k的值．

（2）若a＝4，将函数y＝（x＞0）的图象绕点P顺时针旋转90°得到新图象，直线AB与新图象的交点为E、F，则EF的长为　   　．（直接写出结果）

Answer

（1）①图形见解析；C（4，2），D（5，1）；②m=3,k=20;（2）2

【解析】

（1）①画出图即可直观求出点；②向上平移横坐标不变，纵坐标加m，再结合反比函数解析式联立方程求出m和k；

（2）判断图象旋转后与直线相交的交点在直线上，而直线AB上点绕P点逆时针旋转后的轨迹是与AB垂直的直线，并且过A点，逆向思维，原反比例函数图象与轨迹直线的交点间距离就是EF距离．

（1）①根据题意作出图象如下：

C（4，2），D（5，1），

②C点向上平移m个单位后点坐标为（4，2+m），

D点向上平移m个单位后点坐标为（5，1+m），

∵点C、D恰好同时落在反比例函数y＝的图象上，

∴4（2+m）＝5（1+m），

解得m＝3，

∴平移后C点坐标为（4，5），代入y＝，

得到k＝20；

（2）设直线AB的解析式是y＝kx+b，将点A（2，4）、B（3，5）代入，

，

解得，

∴直线AB解析式为y＝x+2，

∴直线AB与新图象的交点在过A点与AB垂直的直线上，

∴该直线解析式为y＝﹣x+6，

反比例函数与y＝﹣x+6的两交点的距离即为EF的距离，

，

∴x2﹣6x+4＝0，

∴x1+x2＝6，x1•x2＝4，

∴EF＝|x1﹣x2|＝2．