Question

如图，已知直线：y＝kx+3k与x轴交于A点，与抛物线y＝+1交于点B、C两点

（1）若k＝1，求点B、C（点B在点C的左边）的坐标；

（2）过B、C分别作x轴的垂线，垂足分别为点D、E，求AD•AE的值；

（3）将抛物线y＝+1沿直线y＝mx+1（m＞1）向右平移t个单位，直线y＝mx+1交y轴于S，交新抛物线于MT，N是新抛物线与y轴的交点，试探究t为何值时，NT∥x轴？

Answer

（1）点B、C的坐标分别为；（2）13；（3）t＝4m

【解析】

（1）联立直线和抛物线表达式即可求解；

（2）设点BC的横坐标分别为x1，x2，将直线表达式与抛物线表达式联立用韦达定理求出：x1+x2＝4k，x1x2＝4﹣12k，AD•AE＝（x1+3）（x2+3）即可求解；

（3）求出N（0，+mt+1）；再用韦达定理，求出点T的坐标（t+4m，mt+4m2+1），NT∥x轴，则yT＝yN，即可求解．

（1）k＝1时，联立直线和抛物线表达式得：，解得：x＝2±2，

故：点B、C的坐标分别为（2﹣2，5﹣2）、（2+2，5+2）；

（2）设点BC的横坐标分别为x1，x2，

y＝kx+3k，令y＝0，则x＝﹣3，即点A（﹣3，0），

将直线表达式：y＝kx+3k与抛物线表达式y＝+1联立并整理得：

x2﹣4kx+（4﹣12k）＝0，

则：x1+x2＝4k，x1x2＝4﹣12k，

AD•AE＝（x1+3）（x2+3）＝x1x2+3（x1+x2）+9＝4﹣12k+12k+9＝13；

（3）设抛物线沿直线向右平移t个单位，相当于同时向上移动了mt个单位，则点M坐标为（t，1+mt），

平移后的抛物线为：y＝（x﹣t）2+（1+mt）…①，则点N（0， +mt+1），

直线y＝mx+1（m＞1）…②，

将①②联立并整理得：x2﹣2xt﹣4mx+t2+4mt＝0，

x1+x2＝2t+4m，

由题意得：x1＝xM＝t，

∴x2＝t+4m＝xT，

则点T的坐标为（t+4m，mt+4m2+1），

NT∥x轴，则yT＝yN，

即： +mt+1＝mt+4m2+1，

解得：t＝4m．