Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，A(a，0)，B(0，b)，C（-a，0），且+b²-4b+4=0．

(1)求证：∠ABC=90°；

(2)∠ABO的平分线交x轴于点D，求D点的坐标．

(3)如图，在线段AB上有两动点M、N满足∠MON=45°，求证：BM²+AN²=MN²．

Answer

（1）证明见解析（2）（3）证明见解析

【解析】

（1）根据非负数的性质求出a、b的值，根据直角三角形的判定定理证明；
（2）过D作DE⊥AB于E，由于BD是∠ABO的角平分线，根据角平分线的性质知DO=DE，即可证得OD=DE，根据三角形的面积公式计算即可；
（3）把△OBM绕点O顺时针旋转90°，则旋转后B点与A点重合，点M对应点E，连结NE，由于∠MON=45°，那么∠EON=∠MON=45°，即可证得△MON≌△EON，MN=NE；同理可通过证△MON≌△EON，来得到BM=AN，∠OAE=∠OBM=45°，因此在Rt△NAE中，根据勾股定理即可证明．

（1）证明：由得

，

∴

∴

∴A、B、C的坐标是A（2，0），B（0，2），C（－2，0）

∴AB=，BC=，AC=4

∴AC2=AB2+BC2

∴∠ABC=90°

(2)过点D作DE⊥AB于E，

∵BD平分∠ABO，

∴OD=DE，

设OD=x，

∵ 解得,，

∴D点的坐标是

（3）证明：把△OBM绕点O顺时针旋转90°，则旋转后B点与A点重合，点M对应点E（如图），连结NE

∴∠NAE=90°

又∠MON=45°，

∴∠NOE=45°

在△MON和△EON中，

∴△OMN≌△OEN（SAS）

∴MN=NE

在△MOB和△EOA中，

∴△MOB≌△EOA，

BM=AE

∴在Rt△NAE中

NE2=AN2+AE2

∴MN2=AN2+BM2