Question

如图，已知M是△ABC的边AB的中点，D是MC的延长线上一点，满足∠ACM=∠BDM．

(1)求证：AC=BD；

(2)若∠BMC=60°，求的值．

Answer

（1）证明见解析（2）2

【解析】

（1）证明：延长CM至F，使MF=CM，连接AF、BF,根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到四边形AFBC是平行四边形，根据平行四边形的性质得到∠BFM=∠ACM,等量代换得到∠BFM=∠BDM,即可证明BD=BF=AC;

(2) 延长CM至点E，使EM=CD，连结AE,证明△ACE≌△BDM，根据全等三角形的性质得到AE=BM=AM，又∠BMC=60° ，证明△AEM是等边三角形，得到AB=2AM=2ME=2CD，即可求解.

（1）证明：延长CM至F，使MF=CM，连接AF、BF

∵四边形AFBC中对角线CF、AB互相平分

∴四边形AFBC是平行四边形

∴∠BFM=∠ACM,

∵∠ACM=∠BDM．

∴∠BFM=∠BDM,

∴BD=BF=AC

（2）【解析】
延长CM至点E，使EM=CD，连结AE

∴在△ACE和△BDM中

∴△ACE≌△BDM

∴AE=BM=AM

又∠BMC=60°

∴∠AME=60°

∴△AEM是等边三角形

∴AB=2AM=2ME=2CD

∴.