Question

如图，平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线y＝﹣x+4交x轴于点C，交y轴于点A，过A、C两点的抛物线y＝ax²+bx+4交x轴负半轴于点B，且tan∠BAO＝．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知E、F是线段AC上异于A、C的两个点，且AE＜AF，EF＝2，D为抛物线上第一象限内一点，且DE＝DF，设点D的横坐标为m，△DEF的面积为S，求S与m的函数关系式（不要求写出自变量m的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，当∠EDF＝90°时，连接BD，P为抛物线上一动点，过P作PQ⊥BD交线段BD于点Q，连接EQ．设点P的横坐标为t，求t为何值时，PE＝QE．

Answer

（1）y＝﹣x2+x+4；（2）S＝﹣m2+m；（3）当t的值为1+或1﹣时，PE＝QE．

【解析】

（1）令﹣x+4＝0，解得x＝8，令x＝0，y＝4，由tan∠BAO＝，OA＝4，得OB＝3，由以上可得点A、B、C坐标，然后利用待定系数法进行求解即可；

（2）点坐标转换为线段长度，再利用相似三角形找到线段间的比例关系，继而可求出S与m的函数关系式；

（3）可利用（2）得到线段的长度，再综合分析（3）给出的已知信息，可知△EDF为等腰直角三角形，从而得到点E、D的坐标，继而结合三角形中位线定理等知识列式求解即可.

（1）令﹣x+4＝0，解得x＝8，∴C（8，0），

令x＝0，y＝4，∴A（0，4），AC＝4，

∵tan∠BAO＝，OA＝4，∴OB＝3，

∴B（﹣3，0），

将点B、C代入抛物线y＝ax2+bx+4得，

，

解得，

∴抛物线得解析式为y＝﹣x2+x+4；

（2）如图所示，过点D作x轴的垂线，垂足为G，交AC于点K，过点D作EF的垂线，垂足为H，

∵点D的横坐标为m，当x＝m时，

y＝﹣m2+m+4，

设直线AC的解析式为y＝kx+b，代入点A、C，

，

解得，

∴y＝﹣x+4，

∴K（m，﹣m+4），

∴DK＝﹣m2+m+4﹣（﹣m+4）＝﹣m2+m，

∵△DHK∽△COA，

∴，

∴，

∴DH＝（﹣m2+m），

∴S＝EF•DH＝﹣m2+m；

（3）由（2）可知，DH＝（﹣m2+m），

∵EF＝2，DE＝DF，且∠EDF＝90°，

∴DH＝，

∴＝（﹣m2+m），

解得m1＝3，m2＝5，

当m＝3时，点E与点A重合，不符合题意舍，

∴m＝5，

∴D（5，4），

设点E的坐标为（k，﹣k+4），DE＝EF＝，

DE＝＝，

解得k1＝2，k2＝6，

∵E在点D左侧，∴k＝2，

∴E（2，3），

连接BD，设BD的解析式为y＝kx+b，代入点B、D，

，解得，

∴直线BD的解析式为y＝x+，

过点E作y轴的平行线交BD于点N，

则点N的坐标为（2，），

∴EN＝，

连接PE并延长交BD于点K，

∵∠PQK＝90°，EP＝EQ，

∴∠EPQ＝∠EQP，

∴∠EKQ＝∠EQK，

∴EQ＝EK＝EP，

∴点E为PK的中点，

过点P作y轴的平行线交BD于点S，

∴PS＝2EN，

∵P（t，-t2+t+4），

∴S（t，t+），

∴PS＝-t2+t+，

∴-t2+t+＝1，

解得t1＝1+，t2＝1﹣，

∴当t的值为1+或1﹣时，PE＝QE．