Question

若平面直角坐标系内的点M满足横、纵坐标都为整数，则把点M叫做“整点”．例如：P（1，0）、Q（2，﹣2）都是“整点”．抛物线y＝mx²﹣4mx+4m﹣2（m＞0）与x轴交于点A、B两点，若该抛物线在A、B之间的部分与线段AB所围成的区域（包括边界）恰有七个整点，则m的取值范围是（　　）

A. ≤m＜1 B. ＜m≤1 C. 1＜m≤2 D. 1＜m＜2

Answer

B

【解析】

画出图象，利用图象可得m的取值范围

∵y＝mx2﹣4mx+4m﹣2＝m（x﹣2）2﹣2且m＞0，

∴该抛物线开口向上，顶点坐标为（2，﹣2），对称轴是直线x＝2．

由此可知点（2，0）、点（2，﹣1）、顶点（2，﹣2）符合题意．

①当该抛物线经过点（1，﹣1）和（3，﹣1）时（如答案图1），这两个点符合题意．

将（1，﹣1）代入y＝mx2﹣4mx+4m﹣2得到﹣1＝m﹣4m+4m﹣2．解得m＝1．

此时抛物线解析式为y＝x2﹣4x+2．

由y＝0得x2﹣4x+2＝0．解得

∴x轴上的点（1，0）、（2，0）、（3，0）符合题意．

则当m＝1时，恰好有 （1，0）、（2，0）、（3，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣1）、（2，﹣2）这7个整点符合题意．

∴m≤1．【注：m的值越大，抛物线的开口越小，m的值越小，抛物线的开口越大】

答案图1（m＝1时） 答案图2（ m＝时）

②当该抛物线经过点（0，0）和点（4，0）时（如答案图2），这两个点符合题意．

此时x轴上的点 （1，0）、（2，0）、（3，0）也符合题意．

将（0，0）代入y＝mx2﹣4mx+4m﹣2得到0＝0﹣4m+0﹣2．解得m＝．

此时抛物线解析式为y＝x2﹣2x．

当x＝1时，得．∴点（1，﹣1）符合题意．

当x＝3时，得.∴点（3，﹣1）符合题意．

综上可知：当m＝时，点（0，0）、（1，0）、（2，0）、（3，0）、（4，0）、（1，﹣1）、（3，﹣1）、（2，﹣2）、（2，﹣1）都符合题意，共有9个整点符合题意，

∴m＝不符合题．

∴m＞．

综合①②可得：当＜m≤1时，该函数的图象与x轴所围成的区域（含边界）内有七个整点，

故选：B．