Question

如图所示，AB是⊙O的直径，AE是弦，C是劣弧AE的中点，过C作CD⊥AB于点D，CD交AE于点F，过C作CG∥AE交BA的延长线于点G．

（1）求证：CG是⊙O的切线．

（2）求证：AF＝CF．

（3）若sinG＝0.6，CF＝4，求GA的长．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）AG＝5．

【解析】

（1）利用垂径定理、平行的性质，得出OC⊥CG，得证CG是⊙O的切线.

（2）利用直径所对圆周角为和垂直的条件得出∠2=∠B，再根据等弧所对的圆周角相等得出∠1=∠B，进而证得∠1=∠2，得证AF=CF.

（3）根据直角三角形的性质，求出AD的长度，再利用平行的性质计算出结果.

（1）证明：连结OC，如图，

∵C是劣弧AE的中点，

∴OC⊥AE，

∵CG∥AE，

∴CG⊥OC，

∴CG是⊙O的切线；

（2）证明：连结AC、BC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠2+∠BCD＝90°，

而CD⊥AB，

∴∠B+∠BCD＝90°，

∴∠B＝∠2，

∵C是劣弧AE的中点，

∴,

∴∠1＝∠B，

∴∠1＝∠2，

∴AF＝CF；

（3）【解析】
∵CG∥AE，

∴∠FAD＝∠G，

∵sinG＝0.6，

∴sin∠FAD＝＝0.6，

∵∠CDA＝90°，AF＝CF＝4，

∴DF＝2.4，

∴AD＝3.2，

∴CD＝CF+DF＝6.4，

∵AF∥CG，

∴,

∴

∴DG＝，

∴AG＝DG﹣AD＝5．