Question

如图①，直线L：y=mx+n(m<0，n>0)与x，y轴分别相交于A，B两点，将△AOB绕点O逆时针旋转90°，得到△COD，过点A，B，D的抛物线P叫做L的关联抛物线，而L叫做P的关联直线．

(1)若L：y=-x+2，则P表示的函数解析式为______；若P：，则表示的函数解析式为_______．

(2)如图②，若L：y=-3x+3，P的对称轴与CD相交于点E，点F在L上，点Q在P的对称轴上．当以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，求点Q的坐标；

(3)如图③，若L：y=mx+1，G为AB中点，H为CD中点，连接GH，M为GH中点，连接OM．若OM=，求出L，P表示的函数解析式．

Answer

(1)；y=﹣2x+4；(2)Q坐标为Q1(﹣1，)、Q2(﹣1，)；(3)y=﹣3x+1；y=﹣3x2﹣2x+1．

【解析】

（1）若l：y=-x+2，求出点A、B、D的坐标，利用待定系数法求出P表示的函数解析式；若P：，求出点D、A、B的坐标，再利用待定系数法求出l表示的函数解析式；
（2）根据对称轴的定义解答即可；
（3）以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形时，则有FQ∥CE，且FQ=CE．以此为基础，列方程求出点Q的坐标．注意：点Q的坐标有两个，如答图所示，不要漏解；
（4）如答图所示，作辅助线，构造等腰直角三角形OGH，求出OG的长度，进而由AB=2OG求出AB的长度，再利用勾股定理求出y=mx+1中m的值，最后分别求出l，P表示的函数解析式．

【解析】
(1)；y=﹣2x+4．

(2)若：y=﹣3x+3，则A(1，0)、B(0，3)，

∴C(0，1)、D(﹣3，0)．求得直线CD的解析式为：y=x+1．可求得的对称轴为x=﹣1．

∵以点C，E，Q，F为顶点的四边形是以CE为一边的平行四边形，

∴FQ∥CE，且FQ=CE．

设直线FQ的解析式为：y=x+b．∵点E、点C的横坐标相差1，

∴点F、点Q的横坐标也是相差1．则|xF﹣(﹣1)|=|xF+1|=1，解得xF=0或xF=﹣2．

∵点F在直线：y=﹣2x+4上，

∴点F坐标为(0，3)或(﹣2，9)．

若F(0，3)，则直线FQ为：y=x+3，

当x=﹣1时，y=，∴Q1(﹣1，).

若F(﹣2，9)，则直线FQ为：，

当x=﹣1时，y= ，∴Q2(﹣1，)．

∴满足条件的点Q有2个，如答图1所示，点Q坐标为Q1(﹣1，)、Q2(﹣1，)．

(3)如图2所示，连接OG、OH．∵点G、H为斜边中点，

∴OG=AB，OH=CD．

由旋转性质可知，AB=CD，OG⊥OH，

∴△OGH为等腰直角三角形．

∵点G为GH中点，

∴△OMG为等腰直角三角形.

∴OG=OM=•=.

∴AB=2OG=．

∵：y=mx+1，

∴A(，0)，B(0，1)．

在Rt△AOB中，由勾股定理得：OA2+OB2=AB2，即：()2+12=()2，

解得：m=﹣3或m=3.

∵点B在y轴正半轴，

∴m=3舍去，

∴m=﹣3．

∴表示的函数解析式为：y=﹣3x+1；

∴B(0，1)，D(﹣1，0)．又A(，0)，

利用待定系数法求得：y=﹣3x2﹣2x+1．