Question

如图，点E是矩形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，G是AF的中点，再连接DG、DE，且DE=DG.

(1)求证：∠DEA=2∠AEB；

(2)若BC=2AB，求∠AED的度数。

Answer

（1）证明见解析（2）45°

【解析】

(1)根据直角三角形斜边中线的性质可求出AG=DG，所以∠DAG=∠ADG，再利用矩形的性质和三角形的外角和定理即可证明：∠DEA=2∠AEB；

(2)过点作GH⊥DC于H，则∠DCE=∠GFH=3∠AEB=3∠DAE，所以∠DAE+∠GFH=90°，所以4∠DAE=90°，∠DAE=22.5°，进而得到∠DEA=2∠DAE=45°．

(1)∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ADF=90∘，AD∥BC，

∵Rt△ADF中，G是AF中点，

∴GA=GD=GF，

∴∠DGF=2∠DAE，

∵AD∥BE，

∴∠AEB=∠DAE，

∵DG=DE，

∴∠DEA=∠DGF，

∴∠DEA=2∠AEB；

(2) 过点作GH⊥DC于H，

∵AD∥GH，G是AF中点，

则GH=AD=AB=DC，

又∵DE=DG=GF，

∴Rt△GHF≌Rt△DCE(HL)，

∵∠DEA=2∠AEB，

∴∠DCE=∠GFH=3∠AEB=3∠DAE，

∵∠DAE+∠GFH=90°，

∴4∠DAE=90°，

∠DAE=22.5°，

∴∠DEA=2∠DAE=45°．