Question

如图,在Rt△ABC中,∠C=90∘,AC=6,BC=8,动点P从点A开始,沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动,动点D从点A开始,沿边AB向点B以每秒个单位长度的速度运动,且恰好能始终保持连结两动点的直线PD⊥AC,动点Q从点C开始,沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动,连结PQ.点P,D,Q分别从点A,C同时出发,当其中一点到达端点时,另两个点也随之停止运动,设运动时间为t秒(t≥0).

(1)当t为何值时,四边形BQPD的面积为△ABC面积的?

(2)是否存在t的值，使四边形PDBQ为平行四边形?若存在，求出t的值；若不存在，说明理由；

(3)是否存在t的值,使四边形PDBQ为菱形?若存在,求出t的值;若不存在,说明理由,并探究如何改变点Q的速度(匀速运动)，使四边形PDBQ在某一时刻为菱形，求点Q的速度。

Answer

（1）；（2）存在，；（3）不存在；当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形PDBQ是菱形.

【解析】

(1)首先表示出四边形面积以及求出三角形面积，列方程求解即可；

(2)由BQ//DP，可得当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，由此可得关于t的方程，解方程即可得；

(3)利用(2)中所求，即可求得此时DP与BD的长，由DP≠BD，可判定平行四边形PDBQ不能为菱形，然后设点Q的速度为每秒v个单位长度，由要使四边形PDBQ为菱形，则PD=BD=BQ，列方程求解即可.

(1)∵直线PD⊥AC，

∴∠APD=90°，

又∵∠C=90°，

∴∠C=∠APD，

∴PD//BC，

在Rt△APD中，AD=，AP=t，

∴PD=，PC=AC-AP=6-t，

∵CQ=2t，BC=8，

∴BQ=8-2t，

∴四边形BQPD的面积为：(BQ+DP)×PC=(8-2t+t)(6-t)，

△ABC的面积为：AC•BC=×6×8=24，

∴四边形BQPD的面积为△ABC面积的时，×24=(8-2t+t)(6-t)，

解得：，

∵当其中一点到达端点时，另两个点也随之停止运动，

∴t≤4，

∴不合题意，舍去，

∴当t为时，四边形BQPD的面积为△ABC面积的；

(2)存在，

∵PD//BC，

∴BQ//DP，

∴当BQ=DP时，四边形PDBQ是平行四边形，

即8-2t=，解得：t=，

∴存在，t=时，四边形PDBQ为平行四边形；

(3)不存在，理由如下：

当时，，

∴DP≠BD，

∴平行四边形PDBQ不能为菱形；

设点Q的速度为每秒v个单位长度，

则BQ=8-vt，PD=，BD=10-，

要使四边形PDBQ成为菱形，则PD=BD=BQ，

当PD=BD时，即，解得：t=，

当PD=BQ，t=时，即，解得：v=，

所以当点Q的速度为每秒个单位长度时，经过秒，四边形PDBQ是菱形.