Question

（1）如图，请证明∠A+∠B+∠C＝180°

（2）如图的图形我们把它称为“8字形”，请证明∠A+∠B＝∠C+∠D

（3）如图，E在DC的延长线上，AP平分∠BAD，CP平分∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D之间的关系，并证明

（4）如图，AB∥CD，PA平分∠BAC，PC平分∠ACD，过点P作PM、PE交CD于M，交AB于E，则①∠1+∠2+∠3+∠4不变；②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变，选择正确的并给予证明．

Answer

（1）见解析；（2）见解析；（3）∠P＝90°+（∠B+∠D）；（4）∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变正确．理由见解析

【解析】

（1）延长BC到D，过点C作CE∥BA，根据两直线平行，同位角相等可得∠B＝∠1，两直线平行，内错角相等可得∠A＝∠2，再根据平角的定义列式整理即可得证；

（2）根据三角形内角和定理即可证明；

（3）根据（2）的结论∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，∠PAD+∠P＝∠D+∠PCD，然后整理即可得解；

（4）作PQ∥AB，根据平行线性质得到PQ∥CD，则∠APQ＝180°﹣∠3﹣∠4，∠5＝∠2，由于∠APQ+∠5+∠1＝90°，则180°﹣∠3﹣∠4+∠2+∠1＝90°，整理得到∠3+∠4﹣∠1﹣∠2＝90°．

（1）证明：如图1，延长BC到D，过点C作CE∥BA，

∵BA∥CE，

∴∠B＝∠1，

∠A＝∠2，

又∵∠BCD＝∠BCA+∠2+∠1＝180°，

∴∠A+∠B+∠ACB＝180°；

（2）证明：如图2，在△AOB中，∠A+∠B+∠AOB＝180°，

在△COD中，∠C+∠D+∠COD＝180°，

∵∠AOB＝∠COD，

∴∠A+∠B＝∠C+∠D；

（3）如图3，

∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的外角∠BCE，

∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，

∵（∠1+∠2）+∠B＝（180°﹣2∠3）+∠D，

∠2+∠P＝（180°﹣∠3）+∠D，

∴2∠P＝180°+∠D+∠B，

∴∠P＝90°+（∠B+∠D）；

（4）②∠3+∠4﹣∠1﹣∠2不变正确．

理由如下：

作PQ∥AB，如图4，

∵AB∥CD，

∴PQ∥CD，

由AB∥PQ得∠APQ+∠3+∠4＝180°，即∠APQ＝180°﹣∠3﹣∠4，

由PQ∥CD得∠5＝∠2，

∵∠APQ+∠5+∠1＝90°，

∴180°﹣∠3﹣∠4+∠2+∠1＝90°，

∴∠3+∠4﹣∠1﹣∠2＝90°．