Question

如图，在□ABCD中，O是对角线AC的中点，过O作AC的垂线与边AD、BC分别交于E、F。

（1）求证：四边形AFCE是菱形；

（2）若AF⊥BC，试猜想四边形AFCE是什么特殊四边形，并说明理由。

Answer

（1）证明见解析（2）正方形

【解析】

（1）根据平行四边形性质推出AD∥BC，根据平行线分线段成比例定理求出OE=OF，推出平行四边形AFCE，根据菱形的判定推出即可；
（2）由“有一个直角的菱形是正方形”判定四边形AFCE是正方形．

∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴，
∵O是对角线AC的中点，
∴AO=OC，
∴OE=OF，
∴四边形AFCE是平行四边形，
∵EF⊥AC，
∴平行四边形AFCE是菱形；

（2）四边形AFCE为正方形．
∵∠AFC=90°，由（1）知四边形AFCE为菱形，
∴四边形AFCE是正方形（有一个直角的菱形是正方形）．