Question

如图，点E是正方形ABCD对角线AC上一点，EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为E，F，若正方形ABCD的周长是40cm．

（1）求证：四边形BFEG是矩形；

（2）求四边形EFBG的周长；

（3）当AF的长为多少时，四边形BFEG是正方形？

Answer

（1）见解析；（2）20cm（3）当AF=5 cm时,四边形BFEG是正方形.

【解析】

（1）由正方形的性质可得出AB⊥BC、∠B=90°，根据EF⊥AB、EG⊥BC利用“垂直于同一条直线的两直线互相平行”，即可得出EF∥GB、EG∥BF，再结合∠B=90°，即可证出四边形BFEG是矩形；

（2）由正方形的周长可求出正方形的边长，根据正方形的性质可得出△AEF为等腰直角三角形，进而可得出AF=EF，再根据矩形的周长公式即可求出结论；

（3）由正方形的判定可知：若要四边形BFEG是正方形，只需EF=BF，结合AF=EF、AB=10cm，即可得出结论．

(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴AB⊥BC,∠B=90°.

∵EF⊥AB，EG⊥BC，

∴EF∥GB,EG∥BF.

∵∠B=90°，

∴四边形BFEG是矩形；

(2)∵正方形ABCD的周长是40cm，

∴AB==10cm.

∵四边形ABCD为正方形，

∴△AEF为等腰直角三角形，

∴AF=EF，

∴四边形EFBG的周长C=2(EF+BF)=2(AF+BF)=20cm.

(3)若要四边形BFEG是正方形，只需EF=BF，

∵AF=EF，AB=10cm，

∴当AF=5cm时，四边形BFEG是正方形.