Question

如图，已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，E是BO的中点，过B点作AC的平行线，交CE的延长线于点F，连接BF。

（1）求证：FB=AO；

（2）平行四边形ABCD满足什么条件时，四边形AFBO是矩形？说明理由．

Answer

（1）证明见解析；（2）当平行四边形ABCD是菱形时，四边形AFBO是矩形．

【解析】

（1）证明△BEF≌△OEC，即可得出结论；

（2）先证明四边形AFBO是平行四边形，然后根据OA⊥OB得到平行四边形AFBO是矩形.

证明：（1）∵E是BO的中点，
∴OE=BE，
∵BF∥AC，
∴∠BFE=∠OCE，
在△BEF和△OEC中，

∴△BEF≌△OEC，
∴BF=OC，
∵平行四边形ABCD的两条对角线相交于点O，
∴OA=OC，
∴FB=AO；

（2）当平行四边形ABCD是菱形时，四边形AFBO是矩形．理由如下：

∵BF∥AC，FB=AO，

∴四边形AFBO是平行四边形，
∵平行四边形ABCD是菱形，
∴OA⊥OB，

∴∠AOB=90°.
∴平行四边形AFBO是矩形．