Question

已知平行四边形ABCD中，G为BC中点，点E在AD边上，且∠1=∠2．

(1)求证：E是AD中点；

(2)若F为CD延长线上一点，连接BF，且满足∠3=∠2，求证：CD=BF+DF．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析.

【解析】

（1）利用平行四边形的性质，得到AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，证明△AEB≌△CGD，得到AE=CG，利用G为BC中点，即可解答；
（2）作辅助线，延长DF，BE，相交于点H，证明四边形EBDG为平行四边形，再证△AEB≌△DEH，得到AB=DH，即可解答．

【解析】
(1)∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，
在△AEB和△CDG中，

∴△AEB≌△CGD，
∴AE=CG，
∵G为BC中点，
∴CG＝BC，
∴AE＝BC，
∵AD=BC，
∴AE＝AD，
∴E是AD的中点；

（2）如图，延长DF，BE，相交于点H，

∵E为AD的中点，G为BC的中点，
∴DE＝AD，BG＝BC，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴DE=BG，DE∥BG，
∴四边形EBGD为平行四边形，
∴BE∥DG，
∴∠H=∠2，
∵∠3=∠2，
∴∠H=∠3，
∴BF=HF，
∵∠1=∠2，
∴∠H=∠1，
∵E为AD的中点，
∴AE=DE，
在△AEB和△DEH中，

∴△AEB≌△DEH，
∴AB=DH，
∵AB=CD，
∴CD=DH，
∵DH=HF+FD，HF=BF，
∴DH=BF+FD，
∴CD=BF+FD．