Question

如图，抛物线交x轴于点，交y轴于点B，对称轴是直线.

（1）求抛物线的解析式；

（2）P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）存在，.

【解析】

（）根据对称轴和点A坐标列方程组求出b、c的值即可得答案；（2）设C点为抛物线与x轴的另一个交点，连接，与交于点P，根据二次函数的对称性可得PA=PC，点C坐标，根据两点之间，线段最短可得P点即为所求，利用待定系数法求出直线BC的解析式，把x=2代入即可求出P点坐标.

（1）由题意得，

解得.

∴抛物线解析式为.

（2）设C点为抛物线与x轴的另一个交点，连接，与交于点P，

∵点A与点C关于x=2对称，A（1，0）

∴PA=PC，C（3，0）

∵两点之间，线段最短，

∴PA+PB+AB=BC+AB，即△PAB的周长为最小值.

∵x=0时，y=3，

∴B（0，3），

设直线的解析式为，

，

∴.

∴.

当x=2时，y=-2+3=1

∴.

即存在点P，使的周长最小，点P坐标为（2，1）.