Question

已知射线AC是∠MAN的角平分线， ∠NAC=60°, B, D分别是射线AN. AM上的点，连接BD.

(1)在图①中，若∠ABC=∠ADC=90°,求∠CDB的大小；

(2)在图②中，若∠ABC+∠ADC=180°,求证：四边形ABCD的面积是个定值.

Answer

(1)∠CDB=60°.(2)见解析

【解析】

（1）利用四边形的内角和即可得出∠BCD的度数，再利用角平分线的性质定理即可得出CD=CB，△BCD是等边三角形,即可求解；
（2）先判断出∠CDE=∠ABC，进而得出△CDE≌△CBF（AAS），再根据分割面积法证明四边形ABCD的面积是定值即可．

(1)∵射线AC是∠MAN的角平分线,∠NAC=60°，

∴∠MAN=120°，

∵∠ABC=∠ADC=90°，

根据四边形的内角和得,∠BCD=360°−(∠ABC+∠ADC+∠MAN)=60°，

∵AC是∠MAN的平分线，CD⊥AM.CB⊥AN，

∴CD=CB(角平分线的性质定理)，

∴△BCD是等边三角形；

∴∠CDB=60°.

(2)如图②,同(1)得出,∠BCD=60°，

过点C作CE⊥AM于E，CF⊥AN于F，

∵AC是∠MAN的平分线，

∴CE=CF，

∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ADC+∠CDE=180°，

∴∠CDE=∠ABC，

在△CDE和△CFB中，

∴△CDE≌△CBF(AAS)，

S四边形ABCD

∴四边形ABCD的面积是个定值.