Question

如图①，已知正方形ABCD的边长为1，点P是AD边上的一个动点，点A关于直线BP的对称点是点Q，连接PQ、DQ、CQ、BQ，设AP＝x．

（1）BQ＋DQ的最小值是_______，此时x的值是_______；

（2）如图②，若PQ的延长线交CD边于点E，并且∠CQD＝90°．

①求证：点E是CD的中点；        ②求x的值．

（3）若点P是射线AD上的一个动点，请直接写出当△CDQ为等腰三角形时x的值．

Answer

（1），;(2) ①理由详见解析；②;(3) 2﹣或或2+．

【解析】

试题(1)根据两点之间,线段最短可知,点Q在线段BD上时BQ＋DQ的值最小,是BD的长度,利用勾股定理即可求出;再根据△PDQ是等腰直角三角形求出x的值;

(2) ①由对称可知AB=BQ=BC,因此∠BCQ=∠BQC.根据∠BQE=∠BCE=90°,可知∠EQC=∠ECQ,从而EQ=EC.再根据∠CQD=90°可得∠DQE+∠CQE=90°, ∠QCE+∠QDE=90°,而∠EQC=∠ECQ, 所以∠QDE=∠DQE，从而EQ=ED.易得点E是CD的中点；②在Rt△PDE中，PE= PQ+QE=x+，PD=1﹣x，PQ=x，根据勾股定理即可求出x的值.

(3) △CDQ为等腰三角形分两种情况:①CD为腰,以点C 为圆心,以CD的长为半径画弧,两弧交点即为使得△CDQ为等腰三角形的Q点; ②CD为底边时,作CD的垂直平分线,与的交点即为△CDQ为等腰三角形的Q点,则共有 3个Q点,那么也共有3个P点,作辅助线,利用直角三角形的性质求之即得.

试题解析：（1），．

（2）①证明：在正方形ABCD中，

AB=BC，∠A=∠BCD=90°．

∵Q点为A点关于BP的对称点，

∴AB=QB，∠A=∠PQB=90°，

∴QB=BC，∠BQE=∠BCE，

∴∠BQC=∠BCQ，

∴∠EQC=∠EQB﹣∠CQB=∠ECB﹣∠QCB=∠ECQ，

∴EQ=EC．

在Rt△QDC中，

∵∠QDE=90°﹣∠QCE，

∠DQE=90°﹣∠EQC，

∴∠QDE=∠DQE，

∴EQ=ED，

∴CE=EQ=ED，即E为CD的中点．

②∵AP=x，AD=1，

∴PD=1﹣x，PQ=x，CD=1．

在Rt△DQC中，

∵E为CD的中点，

∴DE=QE=CE=，

∴PE=PQ+QE=x+，

∴，

解得 x=．

（3）△CDQ为等腰三角形时x的值为2-，，2+．

如图，以点B为圆心，以AB的长为半径画弧，以点C为圆心，以CD的长为半径画弧，两弧分别交于Q1，Q3．此时△CDQ1，△CDQ3都为以CD为腰的等腰三角形．作CD的垂直平分线交弧AC于点Q2，此时

△CDQ2以CD为底的等腰三形．

以下对此Q1，Q2，Q3．分别讨论各自的P点，并求AP的值．

讨论Q₁:如图作辅助线，连接BQ1、CQ1，作PQ1⊥BQ1交AD于P，过点Q1，作EF⊥AD于E，交BC于F．

∵△BCQ1为等边三角形，正方形ABCD边长为1，

∴，．

在四边形ABPQ1中，

∵∠ABQ1=30°，

∴∠APQ1=150°，

∴△PEQ1为含30°的直角三角形，

∴PE=．

∵AE=，

∴x=AP=AE-PE=2-．

②讨论Q2，如图作辅助线，连接BQ2，AQ2，过点Q2作PG⊥BQ2，交AD于P，连接BP，过点Q2作EF⊥CD于E，交AB于F．

∵EF垂直平分CD，

∴EF垂直平分AB，

∴AQ2=BQ2．

∵AB=BQ2，

∴△ABQ2为等边三角形．

在四边形ABQP中，

∵∠BAD=∠BQP=90°, ∠ABQ₂=60°,

∴∠APE=120°

∴∠EQ2G=∠DPG=180°-120°=60°，

∴，

∴EG=，

∴DG=DE+GE=-1，

∴PD=1-，

∴x=AP=1-PD=．

③对Q3，如图作辅助线，连接BQ1，CQ1，BQ3，CQ3，过点Q3作BQ3⊥PQ3，交AD的延长线于P，连接BP，过点Q1，作EF⊥AD于E，此时Q3在EF上，不妨记Q3与F重合．

∵△BCQ1为等边三角形，△BCQ3为等边三角形，BC=1，

∴，，

∴．

在四边形ABQ3P中

∵∠ABF=∠ABC+∠CBQ3=150°，

∴∠EPF=30°，

∴EP=,EF=．

∵AE=，

∴x=AP=AE+PE=+2．

综上所述，△CDQ为等腰三角形时x的值为2﹣，，2+．