Question

已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）.

（1）四边形EFGH的形状是 _____________   ，（证明你的结论. ）

（2）当四边形ABCD的对角线满足 __________条件时，四边形EFGH是矩形(不用证明)

Answer

（1）平行四边形；证明见解析（2）AC⊥BD

【解析】

(1)连接BD，根据三角形的中位线定理得到EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG=BD，推出，EH∥FG，EH=FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH是平行四边形；

(2)根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知当四边形ABCD的对角线满足AC⊥BD的条件时，四边形EFGH是矩形.

(1)四边形EFGH的形状是平行四边形．理由如下：

如图，连结BD，

∵E、H分别是AB、AD中点，

∴EH∥BD，EH=BD，

同理FG∥BD，FG=BD，

∴EH∥FG，EH=FG，

∴四边形EFGH是平行四边形；

(2)当四边形ABCD的对角线满足互相垂直的条件时，四边形EFGH是矩形．理由如下：

如图，连结AC、BD，

∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，

∴EH∥BD，HG∥AC，

∵AC⊥BD，

∴EH⊥HG，

又∵四边形EFGH是平行四边形，

∴平行四边形EFGH是矩形，

故答案为：AC⊥BD.