Question

如图：四边形为的内接四边形，连接，为的直径，于点．

(1)如图，求证：；

(2)如图，连接，当时，求证：；

(3)如图，在(2)的条件下，延长交于点，连接， ，求的长．

Answer

(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3).

【解析】

(1)根据等角的余角相等即可证明．

(2)如图2中，连接．只要证明，推出，推出即可．

(3)延长交于，连接，作于，于，连接．由，推出，推出，设，则，由，推出，可得，推出，即，再证明四边形是等腰梯形，则易证，推出，推出，在中，可得，即，推出，延长即可求出即可解决问题．

(1)证明：如图1中，

∵是直径，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∵，

∴．

(2)证明：如图2中，连接．

∵，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴．

(3)【解析】
延长交于，连接，作于，于，连接．

∵是直径，

∴，

∴，

∴，

∴，设，则，

∵，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴四边形是等腰梯形，则易证，

∴，

∴，

在中，∵，

∴

∴，

∴，

∴，

∴，，

∵，

∴，∵，

∴，

∵，

∴，

在中，．