Question

工人师傅用一块长为2m，宽为1.2m的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）

（1）若长方体底面面积为1.28m²，求裁掉的正方形边长；

（2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的3倍，并将容器进行防锈处理，侧面每平方米的费用为50元，底面每平方米的费用为200元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？

Answer

（1）裁掉的正方形边长为0.2m；（2）裁掉的正方形边长为0.4m时，总费用最低，最低为160元．

【解析】

（1）设裁掉的正方形的边长为xm，根据底面矩形的面积公式列出一元二次方程，解之可得；

（2）先根据长不大于宽的3倍得出x的取值范围，再根据总费用=侧面的总费用+底面的总费用列出函数解析式，配方成顶点式，利用二次函数的性质求解可得．

（1）设裁掉的正方形的边长为xm，

根据题意，得：（2﹣2x）（1.2﹣2x）=1.28，

解得：x1=0.2或x2=1.4（舍），

所以裁掉的正方形边长为0.2m；

（2）∵长不大于宽的3倍，

∴2﹣2x≤3（1.2﹣2x），

解得：0＜x≤0.4，

设总费用为w，

根据题意，得：w=50×2x（3.2﹣4x）+200×（2﹣2x）（1.2﹣2x）

=400x2﹣960x+480

=400（x﹣1.2）2﹣96，

∵对称轴x=1.2且开口向上，

∴当0＜x≤0.4时，w随x的增大而减小，

∴当x=0.4时，w取得最小值，最小值为160元，

答：裁掉的正方形边长为0.4m时，总费用最低，最低为160元．