Question

如图，正方形ABCD的四个顶点分别在正方形EFGH的四条边上，我们称正方形EFGH是正方形ABCD的外接正方形．           

探究一：巳知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍？如图，假设存在正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD的2倍．

因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为2，

所以EF=FG=GH=HE=，设EB=x，则BF=﹣x，

∵Rt△AEB≌Rt△BFC   

∴BF=AE=﹣x

在Rt△AEB中，由勾股定理，得

x²+（﹣x）²=1²   

解得，x₁=x₂=

∴BE=BF，即点B是EF的中点．

同理，点C，D，A分别是FG，GH，HE的中点．

所以，存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的2倍

探究二：巳知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍？（仿照上述方法，完成探究过程）           

探究三：巳知边长为1的正方形ABCD，　   　一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的4倍？（填“存在”或“不存在”）           

探究四：巳知边长为1的正方形ABCD，是否存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍？（n＞2）（仿照上述方法，完成探究过程）           

Answer

不存在，详见解析

【解析】

探究二，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程计算即可；探究三，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答；探究四，根据探究一的解答过程、运用一元二次方程根的判别式解答．

探究二：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为3，

所以EF=FG=GH=HE=，设EB=x，则BF=﹣x，

∵Rt△AEB≌Rt△BFC，

∴BF=AE=﹣x，

在Rt△AEB中，由勾股定理，得，

x2+（﹣x）2=12，

整理得x2﹣x+1=0，

b2﹣4ac=3﹣4＜0，

此方程无解，

不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍；

探究三：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为4，

所以EF=FG=GH=HE=2，设EB=x，则BF=2﹣x，

∵Rt△AEB≌Rt△BFC，

∴BF=AE=2﹣x，

在Rt△AEB中，由勾股定理，得，

x2+（2﹣x）2=12，

整理得2x2﹣4x+3=0，

b2﹣4ac=16﹣24＜0，

此方程无解，

不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的3倍，

故答案为：不存在；

探究四：因为正方形ABCD的面积为1，则正方形EFGH的面积为n，

所以EF=FG=GH=HE=，设EB=x，则BF=﹣x，

∵Rt△AEB≌Rt△BFC，

∴BF=AE=﹣x，

在Rt△AEB中，由勾股定理，得，

x2+（﹣x）2=12，

整理得2x2﹣2x+n﹣1=0，

b2﹣4ac=8﹣4n＜0，

此方程无解，

不存在一个外接正方形EFGH，它的面积是正方形ABCD面积的n倍．