Question

如图，在菱形中，对角线，，点从点出发沿方向匀速运动，速度是，点从点出发沿方向匀速运动，速度是，，与交于点，连接.设运动时间为.

（1）当于时，求的值；

（2）设四边形的面积为，求与之间的函数关系式；

（3）是否存在某一时刻，使平分？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）当时；（2）；（3）当时平分.

【解析】

（1）由题意得：，，，根据菱形的性质求出AO、BO、AB的值，再根据同角的余弦得出cos∠ABO ，代入计算即可求解；

（2）过作，垂足为，根据同角的正弦弦得出sin∠ABO ,求出MQ，根据平行证出，由相似三角形的性质求出EQ，根据梯形的面积公式即可求得与之间的函数关系式；

（3）假设存在时刻，使平分，则，过作，垂足为，先证出△PBQ是等腰三角形，根据三线合一可得BN=BQ=4-t，再根据同角的余弦得出cos∠ABO，代入计算即可求的值．

【解析】
（1）由题意得：，，.

∵四边形是菱形，

∴，，，

∴.

假设存在使，

在中，，

在中，，

即，

得.

∴当时；

（2）过作，垂足为，

在中，

.

∵，，

∴，四边形BPQE是梯形，

∴.

又∵，

∴，

∴，即，

∴，

，

∴，

∴；

（3）假设存在时刻，使平分，则，

过作，垂足为，

∵，

∴，

∴，

∴.

∵，

∴.

在中，，

∴，

解得.

∴当时平分.

故答案为：（1）当时；（2）；（3）当时平分.