Question

如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，以AB为一边向三角形外作正方形ABEF，正方形的中心为O， ，则BC边的长为_．

Answer

3

【解析】

作EQ⊥x轴，以C为坐标原点建立直角坐标系，CB为x轴，CA为y轴，则A（0，5）．设B（x，0），由于O点为以AB一边向三角形外作正方形ABEF的中心，利用AAS得到三角形ABC与三角形BEQ全等，利用全等三角形的对应边相等得到AC=BQ=5，BC=EQ，设BC=EQ=x，由OM为梯形ACQE的中位线，利用梯形中位线定理表示出OM，再由CM，表示出O坐标，进而表示出OC的长，根据已知OC的长列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出BC的长．

【解析】
作EQ⊥x轴，以C为坐标原点建立直角坐标系，CB为x轴，CA为y轴，则A（0，5）．

设B（x，0），由于O点为以AB一边向三角形外作正方形ABEF的中心，

∴AB＝BE，∠ABE＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠BAC+∠ABC＝90°，∠ABC+∠EBQ＝90°，

∴∠BAC＝∠EBQ，

在△ABC和△BEQ中，

，

∴△ACB≌△BQE（AAS），

∴AC＝BQ＝5，BC＝EQ，

设BC＝EQ＝x，

∴O为AE中点，

∴OM为梯形ACQE的中位线，

∴OM＝，

又∵CM＝CQ＝，

∴O点坐标为（，），

根据题意得：OC＝4＝ ，

解得：x＝3，

则BC＝3．

故答案为：3．