Question

如图，△ABC内接于⊙O，BC＝2，AB＝AC，点D为上的动点，且cos∠ABC＝．

（1）求AB的长度；

（2）在点D的运动过程中，弦AD的延长线交BC延长线于点E，问AD•AE的值是否变化？若不变，请求出AD•AE的值；若变化，请说明理由；

（3）在点D的运动过程中，过A点作AH⊥BD，求证：BH＝CD+DH．

Answer

（1）；（2）不变，；（3）见解析.

【解析】

（1）作AM垂直于BC，由AB=AC，利用三线合一得到CM等于BC的一半，求出CM的长，再由cosB的值，利用锐角三角函数定义求出AB的长即可；
（2）连接DC，由等边对等角得到一对角相等，再由圆内接四边形的性质得到一对角相等，根据一对公共角，得到三角形EAC与三角形CAD相似，由相似得比例求出所求即可；
（3）在BD上取一点N，使得BN=CD，利用SAS得到三角形ACD与三角形ABN全等，由全等三角形对应边相等及等量代换即可得证．

【解析】
（1）作AM⊥BC，

∵AB＝AC，AM⊥BC，BC＝2BM，

∴CM＝BC＝1，

∵cosB＝ ，

在Rt△AMB中，BM＝1，

∴AB＝ ；

（2）连接DC，

∵AB＝AC，

∴∠ACB＝∠ABC，

∵四边形ABCD内接于圆O，

∴∠ADC+∠ABC＝180°，

∵∠ACE+∠ACB＝180°，

∴∠ADC＝∠ACE，

∵∠CAE公共角，

∴△EAC∽△CAD，

∴ ，

∴AD•AE＝AC2＝10；

（3）在BD上取一点N，使得BN＝CD，

在△ABN和△ACD中

，

∴△ABN≌△ACD（SAS），

∴AN＝AD，

∵AN＝AD，AH⊥BD，

∴NH＝HD，

∵BN＝CD，NH＝HD，

∴BN+NH＝CD+HD＝BH．